Primi strumenti matematici

math gnomes

Per i primi passi nel mondo della matematica, abbiamo un primo eccezionale strumento nelle nostre dieci dita. Contare con le dita costituisce un esercizio fondamentale che non dovrebbe essere trascurato nemmeno in seguito, come dimostrano sistemi matematici raffinati come quello indiano, che riservano al computo con le dita un ruolo centrale. È bene contare molto e spesso, per familiarizzare i bambini con quello straordinario e complesso linguaggio che sono i numeri. Ogni occasione è buona per esercitare la sequenza dei numeri da 1 a 20, fondamentale gradino di partenza per tutta l’aritmetica, in particolare quando si lavora con il calcolo mentale.

Un modo divertente per comprendere con il corpo l’atto del contare è la linea dei numeri, che possiamo realizzare in modo molto efficace mettendo un cartoncino con i numeri in progressione su una scala: ogni gradino un numero, dal basso verso l’alto. Nulla di più evidente per spiegare la successione dei numeri, l’addizione e la sottrazione, le sequenze due-a-due, tre-a-tre e così via. I bambini lo usano come un gioco e lo padroneggiano rapidamente. Si può realizzare anche sul pavimento, ma facendo attenzione che i passi siano sempre uguali (si possono prendere le piastrelle come punto di riferimento) e che la linea abbia una direzione, facendo per esempio camminare all’indietro quando si passa da un numero alto a uno più basso. Qui i bambini hanno usato i numeri magnetici:

linea dei numeri

Facciamo attenzione a non rendere la matematica una sequenza di quiz astratti, in cui quello che conta è indovinare la risposta giusta. È importante che i concetti vengano ben compresi e utilizzati e, per far questo, è bene evitare l’ansia da risposta giusta. Ovviamente non significa che la matematica possa diventare un’opinione, ma che è importante concentrarsi sul processo e non sul risultato. Per cominciare, possiamo ribaltare il metodo classico partendo dal risultato. Non chiederemo quanto fa 5+4, ma:

Due bambini vanno in giardino e portano alla mamma 9 fiori da mettere nel vaso. Quanti fiori ha raccolto ciascuno?
 

Attenzione, non c’è scritto che i due bambini debbano avere raccolto lo stesso numero di fiori: il problema è a soluzione multipla. Le possibili risposte giuste sono molte. E questo contribuisce a rilassare il bambino. Successivamente il calcolo a partire dal risultato può diventare un esercizio scritto, da registrare sul quaderno, che aiuta bene a comprendere la natura plastica dei numeri e torna molto utile nel calcolo mentale e nell’utilizzo delle proprietà delle operazioni aritmetiche.

partire dal totale

Anche se ai bambini piacciono anche i numeri presi in sé, è utile rendere il calcolo concreto e tangibile. Calculus in latino era il sassolino: ecco quindi il nostro primo strumento, raccolto in vacanza sulla spiaggia:

sassolini

I sassolini di Pollicino, dieci bianchi e dieci neri, permettono di raggruppare più facilmente la decina. L’uso è semplicissimo: bisogna prima esaurire i sassolini bianchi e poi passare a quelli neri. Non ci sarà bisogno di spiegare ai bambini che 15 è 10 + 5, ma risulterà evidente dal colore dei sassolini.

Invece di una lista di conticini possiamo proporre delle situazioni narrative, magari aventi come protagonisti i bambini stessi: a un certo punto della storia, che possiamo drammatizzare in un semplice teatrino, i bambini dovranno risolvere un quesito numerico, attraverso la manipolazione di oggetti concreti. Non è necessario nominare l’operazione fatta, l’importante è contare bene gli oggetti per giungere al risultato. Per esempio:

abbiamo qui 6 belle mele, me ne servono 4 per la torta, mettile in questo cesto, una puoi mangiarla e quel che resta mettilo in frigo. Di solito il bambino scopre con entusiasmo, senza che nessuno glielo chieda, che, dalla torta, ne sono avanzate 2 e che in frigo ne torna solo una.

All’inizio (e ancora per parte della seconda elementare) i problemi possono essere sostituiti da “teatrini” o da disegni sul quaderno. Solo in seguito, verranno scritti e sotto il disegno verrà formalizzata l’operazione. Il quaderno è a quadretti e non bianco perché l’aritmetica richiede ordine e precisione. Naturalmente si tratta di un obiettivo da raggiungere e non di una costrizione. Badiamo anche all’estetica: ordine e colori nella composizione della pagina sono molto importanti. Se i bambini lo gradiscono, possiamo utilizzare il disegno a quadretti, che accentua la sensazione di ordine e costituisce una buona introduzione al disegno geometrico e tecnico.

soluzioni grafiche 3

soluzioni grafiche 2

Nelle immagini precedenti i problemi, costituiti da piccole storie, sono risolti con l’ausilio del disegno e solo in seguito formalizzati nell’operazione. Si tratta di un approccio molto efficace, perché i bambini hanno competenze matematiche di tipo pratico assai sviluppate molto tempo prima di entrare a scuola. Quello che andiamo ad aggiungere è una formalizzazione di un sapere che in realtà hanno già e utilizzano in modo adeguato ed efficace.

La struttura narrativa del problema stimola la fantasia e i bambini cominciano presto a inventarne di originali. Qui la questione era relativa ad una torre realizzata con dei pezzi da costruzione:

problemi inventati

I bambini utilizzano il quaderno anche per fissare dei concetti che hanno compreso e che vogliono riassumere e illustrare, per essere sicuri di ricordarseli. Qui i numeri sono inseriti in un mulino, che rappresenta uno strumento che trasforma una materia prima in qualcos’altro, esattamente come fanno le operazioni aritmetiche:

scrittura regole

Nel corso della prima elementare si può cominciare a familiarizzare con le 4 operazioni, sapendo che tutte e quattro in realtà nascono dall’addizione. La sottrazione, infatti non è che un’addizione rovesciata (10 – 4 = 6 è 10 = 4 + 6) e la moltiplicazione è “un più che va veloce”, ovvero una sequenza di addizioni in cui l’addendo viene ripetuto: 2×4=2+2+2+2. Se guardiamo il segno che indica il per (X), vediamo che è un più (+) che, per la fretta, ha cominciato a rotolare…

La divisione è una operazione particolarmente complessa, che comprende in sé le altre tre. È bene affrontarla anzitutto come un inverso della moltiplicazione (10 : 2 = qual è il numero che, moltiplicato per 2, fa 10?) e con dei problemi di distribuzione da risolvere mediante il disegno:

Maria invita le sue 6 amichette a merenda e prepara 54 frittelle. Sapendo che con 8 frittelle viene il mal di pancia, saranno sufficienti per far venire il mal di pancia a tutte?

Si disegnano in modo stilizzato le bambine, una per riga, poi si comincia a distribuire loro le frittelle, disegnandole sulla stessa riga e contandole alla fine di ogni giro finché si arriva il più vicino possibile al 54: sì, verrà il mal di pancia a tutte!

soluzioni grafiche 1

Per rendere meno astratti i concetti e la terminologia matematica, possiamo rendere le quattro operazioni dei veri e propri personaggi, dotati di caratteristiche fisiche e di un carattere specifico. Quando dobbiamo risolvere un problema, chiamiamo in aiuto uno dei nostri personaggi, sforzandoci di capire quale ci darà il giusto aiuto. Lo metteremo vicino al quaderno o lo disegneremo sotto il testo del problema, sperando che ci suggerisca la soluzione giusta:

problemi e gnomi

Noi abbiamo utilizzato gli gnomi, come nella tradizione steineriana, che trovate approfondita nel sito La pappa dolce. Si possono benissimo sostituire con altri personaggi (perfino Gormiti o Winx…), cercando però di rispettare colori e temperamento, perché sono strettamente collegati all’operazione che rappresentano. Con un po’ di fantasia si possono utilizzare materiali già presenti in casa, come ha fatto ingegnosamente Graziella. I nostri piccoli aiutanti sono semplicissimi burattini da dito fatti di lana non filata, lavorati come feltro ad ago:

math gnomes

Da sinistra, abbiamo Golosina, vestita di verde a indicare il temperamento flemmatico, che raccoglie tutto ciò che trova, lo porta a casa e, placida, se lo mangiucchia. A fianco a lei, Tristano, in blu, visto il temperamento melanconico, sempre triste e affamato, con un sacco sempre vuoto. Gira tutto il giorno, raccoglie da mangiare e lo mette nel sacco, ma non si è accorto che c’è un taglio (il segno meno -) da cui tutto esce! Fulmine è lo gnomo giallo, sanguinico, un giocoliere velocissimo che ci aiuta con le moltiplicazioni. Infine Karl il rosso, dal carattere iracondo, gira con un grosso paio di forbici per far parti rigorosamente uguali. Sempre ne La pappa dolce si possono trovare altre immagini e altre idee sulle storie dei quattro gnomi.

I personaggi delle quattro operazioni possono aiutare a spiegare in modo narrativo alcuni concetti aritmetici, così da fornire un’immagine che faciliti la comprensione e la memorizzazione. Per esempio, ecco come spiegare la prova della sottrazione (ovvero la sottrazione è giusta se, sommando sottraendo e differenza, si ottiene il minuendo):

Tristano va nel bosco a raccogliere 20 mele, le mette nel suo sacco bucato e tutto contento torna a casa. Ma, ohimè, quando giunge a casa e versa il contenuto del sacco in un cesto, ne trova solo 7! Pianto e disperazione, ma per fortuna, nel bosco c’è Golosina. Sul sentiero ha notato molte mele e, com’è sua abitudine, le ha raccolte. Arriva a casa di Tristano e lo trova in lacrime: “Guarda, gli dice, nel mio cestino ci sono 13 mele. Ora le mettiamo tutte insieme.” Le versa nel cesto e… magia! Ecco le 20 mele di Tristano!
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prova sottrazione

L’approccio proposto non necessita di particolari strumenti o di costosi materiali prestrutturati, dato che sono sufficienti gli oggetti di uso quotidiano. Può accadere anzi che il bambino si costruisca da solo i propri materiali, affinando le proprie capacità metacognitive.

Per approfondire il tema può essere utile la lettura di H. Koepke, Il settimo anno, edizioni Arcobaleno, che riporta riflessioni ed esperienze sul primo anno di scuola.

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